空間とベクトル増補版
川��徹郎・松本幸夫 著
A5判・並製・256頁・定価2700円+税
「内積」をキーワードとして幾何学のいろいろな話題を紹介.
幾何学における内積の重要性を説く.
放送大学の印刷教材をもとに, 特殊相対性理論の簡単な解説を加え，「増補版」とした．
まえがき
幾何学であつかう長さや角度はベクトルの内積を用いて表すことができます．
また，内積を変えない変換を合同変換といい，合同変換でうつりあう図形を
互いに合同な図形といいます．このように，ベクトルの内積は幾何学におい
て重要な役割を演じます．
この本では，「内積」をキーワードとして幾何学のいろいろな話題を紹介しま
す．はじめに合同変換の分類，曲線論，曲面論を展開します．つぎに，ベク
トル場の微積分，いわゆる「ベクトル解析」を解説し，そこでも内積が不可欠
であることをみます．最後に，通常の内積と異なる「擬内積」を伴ったミンコ
フスキー空間が非ユークリッド幾何と相対性理論を考える枠組みを提供するこ
とを学びます．これらの学習を通して，幾何学における内積の概念の重要性を
理解していただくことがこの本の目的です．
この本は 15の章から成り立っています．
第 1章から第 4章までは内積を伴った空間としてユークリッド空間の概念
を導入し，その合同変換の分類を行います．応用として，対称性をもつ図形を
それ自身にうつす対称変換を考え，立方体の対称変換全体を分類してみます．
第 5章と第 6章は空間内の曲線の話です．第 6章で学ぶフレネ・セレーの公式
は曲線の分類を考える上で重要な働きをします．第 7章から第 10章までは空間
内の曲面の合同変換による分類です．曲面の第 1基本形式と第 2基本形式が
ここでの主役です．
第 11章から第 14章まではベクトル解析をあつかいます．第 11章と第 12章では
平面上のベクトル場を，また，第 13章と第 14章では空間内のベクトル場を
考えます．
最後の第 15章では，擬内積を伴ったミンコフスキー空間を導入し， 3次元
のミンコフスキー空間が「双曲幾何学」とよばれる非ユークリッド幾何学と深
く結び付いていることを学びます．
4次元のミンコフスキー空間は相対性理論の枠組みとなります．
各章末には演習問題がつけてあります．多くは基本的な問題ですが，かなり
計算を要する問題もあります．積極的に取り組んでみてください．
巻末に簡単な解答を載せておきましたので参考にしてください．
最後に，さらに詳しく勉強されたい方のために参考文献をあげておきます．
[1]川��徹郎『曲面と多様体』｜講座｜数学の考え方，朝倉書店 (2001)
[2]深谷賢治『電磁場とベクトル解析』岩波講座，現代数学への入門 (1995)
[3]河野俊丈『曲面の幾何構造とモジュライ』日本評論社 (1997)
[1]は第 5章から第 10章まで， [2]は第 11章から第 14章まで，そして，
[3] は第 15章を，それぞれ書くときの参考にさせていただきました．
この本はもともと， 2009年から数年間，放送大学で行った講義のための印
刷教材として書いたものです．このたび横山伸氏の御好意によりあらためて
数学書房から出版していただくことになりました．著者として大変うれしく，
横山氏に深く感謝する次第です．出版に際し，第 15章の最後に，
特殊相対性理論の簡単な解説を補足として付け加え，「増補版」としました．
2018年 7月
川��徹郎・松本幸夫